Định nghĩa

Cho K là một trường vô hướng. Cho A là ma trận m × n, với các vectơ hàng r1, r2, …, rm. Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ trên là bất kỳ vectơ có dạng

c 1 r 1 + c 2 r 2 + ⋯ + c m r m , {\displaystyle c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m},}

trong đó c1, c2, …, cm là các vô hướng. Tập hợp các tổ hợp tuyến tính của r1, …, rm được gọi là không gian hàng của A. Tức là không gian hàng của A là span của các vectơ r1, …, rm.

Ví dụ, xét ma trận

A = [ 1 0 2 0 1 0 ] , {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix}},}

các vectơ hàng là r1 = [1, 0, 2] và r2 = [0, 1, 0]. Một tổ hợp tuyến tính của r1 và r2 là một vectơ có dạng

c 1 [ 1 0 2 ] + c 2 [ 0 1 0 ] = [ c 1 c 2 2 c 1 ] . {\displaystyle c_{1}{\begin{bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&2c_{1}\end{bmatrix}}.}

Tập hợp các vectơ như vậy là không gian hàng của A. Trong trường hợp này, không gian hàng chính là tập hợp các vectơ (x, y, z) ∈ K3 thỏa mãn phương trình z = 2x (trong tọa độ Descartes, tập hợp này là một mặt phẳng qua gốc tọa độ trong không gian ba chiều).

Đối với ma trận biểu diễn cho một hệ phương trình tuyến tính, không gian hàng chứa toàn bộ các phương trình tuyến tính có thể được rút ra từ các phương trình trong hệ.

Không gian cột của A là không gian hàng của AT.

Cơ sở

Các biến đổi hàng sơ cấp không ảnh hưởng tới không gian hàng. Vì thế, có thể thực hiện đơn giản hóa hàng để tìm cơ sở của không gian hàng.

Ví dụ, xét ma trận

A = [ 1 3 2 2 7 4 1 5 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}.}

Các hàng của ma trận này sinh không gian hàng, nhưng chúng có thể không độc lập tuyến tính, do đó cơ sở có thể không phải là toàn bộ chúng. Để tìm các vectơ hàng nào là cơ sở, ta đơn giản hóa A về dạng hàng bậc thang.

r1, r2, r3 là các vectơ hàng.

[ 1 3 2 2 7 4 1 5 2 ] → r 2 − 2 r 1 → r 2 [ 1 3 2 0 1 0 1 5 2 ] → r 3 − r 1 → r 3 [ 1 3 2 0 1 0 0 2 0 ] → r 3 − 2 r 2 → r 3 [ 1 3 2 0 1 0 0 0 0 ] → r 1 − 3 r 2 → r 1 [ 1 0 2 0 1 0 0 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}&\xrightarrow {\mathbf {r} _{2}-2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{2}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-\,\,\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-2\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{1}-3\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{1}} {\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

Một khi ma trận được đưa về dạng bậc thang, các hàng khác zero là cơ sở của không gian hàng. Trong trường hợp này, cơ sở là { [1, 3, 2], [2, 7, 4] }. Một cơ sở có thể khác là { [1, 0, 2], [0, 1, 0] }, có được sau khi tiếp tục đơn giản.[7]

Thuật toán này còn thường được sử dụng để tìm một cơ sở cho span của một tập hợp vectơ. Nếu ma trận tiếp tục được đơn giản hơn nữa về dạng hàng bậc thang rút gọn thì cơ sở thu được xác định duy nhất bởi không gian hàng.

Thay vào đó, đôi khi cũng thuận tiện nếu ta tìm cơ sở cho không gian hàng từ các hàng của ma trận ban đầu (ví dụ, kết quả này hữu ích trong một chứng minh đơn giản rằng hạng định thức bằng hạng của một ma trận). Vì các biến đổi trên hàng có thể ảnh hưởng đến sự phụ thuộc tuyến tính giữa các vectơ hàng, một cơ sở như vậy được tính một cách gián tiếp nhờ kết quả không gian cột của AT chính là không gian hàng của A. Trong ví dụ ma trận A ở trên, ta tìm AT và đơn giản nó về dạng hàng bậc thang:

A T = [ 1 2 1 3 7 5 2 4 2 ] ∼ [ 1 2 1 0 1 2 0 0 0 ] . {\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&2&1\\3&7&5\\2&4&2\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}}.}

Các vị trí chính cho thấy rằng hai cột đầu tiên của AT tạo thành một cơ sở cho không gian cột của AT. Vì vậy hai cột đầu tiên của A (ban đầu khi chưa thực hiện biến đổi) cũng là một cơ sở cho không gian hàng của A.

Số chiều

Số chiều của không gian hàng cũng được gọi là hạng của ma trận. Đây cũng bằng số hàng độc lập tuyến tính tối đa có thể được chọn ra từ ma trận, hay một cách tương đương, là số vị trí chính. Chẳng hạn, ma trận 3 × 3 ở ví dụ trên có hạng bằng 2.[7]

Hạng của ma trận cũng là số chiều của không gian cột. Số chiều của hạt nhân của ma trận gọi là số vô hiệu, liên hệ với hạng bởi phương trình sau:

rank ⁡ ( A ) + nullity ⁡ ( A ) = n , {\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n,}

trong đó n là số cột của ma trận A. Phương trình trên được gọi là định lý về hạng.

Liên hệ với hạt nhân

Hạt nhân của ma trận A là tập hợp các vectơ x sao cho Ax = 0. Tích của ma trận A với vectơ x có thể được viết dưới dạng tích vô hướng:

A x = [ r 1 ⋅ x r 2 ⋅ x ⋮ r m ⋅ x ] , {\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},}

trong đó r1, …, rm là các vectơ hàng của A. Vì vậy Ax = 0 khi và chỉ khi x trực giao (vuông góc) với từng vectơ hàng trong A.

Từ đây suy ra hạt nhân của A là phần bù trực giao của không gian hàng. Ví dụ, nếu không gian hàng là một mặt phẳng qua gốc tọa độ thì không gian hạt nhân là một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với mặt phẳng trên (trong không gian ba chiều). Điều này gợi ý cho một chứng minh của định lý về hạng (xem trong phần Số chiều ở trên).

Liên hệ với đối ảnh

Nếu V và W là các không gian vectơ thì hạt nhân của một biến đổi tuyến tính T: V → W là tập hợp các vectơ v ∈ V sao cho T(v) = 0. Hạt nhân của biến đổi tuyến tính tương tự như không gian hạt nhân của một ma trận.

Nếu V là không gian tích trong thì phần bù trực giao của hạt nhân của biến đổi trên có thể được coi là tổng quát hóa của không gian hàng, và đôi khi còn được gọi là đối ảnh (coimage) của biến đổi T. Biến đổi T là một đơn ánh trên đối ảnh của nó, và đối ảnh ánh xạ đẳng cấu vào ảnh của T.

Khi V không là không gian tích trong, đối ảnh của T được định nghĩa là không gian thương V / ker(T).